斐波那契数列的产生?据说斐波那契数列产生于一个生小兔子的故事,请问这个故事是怎样的?

Question

斐波那契数列的产生?
据说斐波那契数列产生于一个生小兔子的故事,请问这个故事是怎样的?

Answer 1

1.在数学上,斐波那契数列是以递归的方法来定义：
* F0 = 0
* F1 = 1
* Fn = Fn - 1 + Fn - 2
用文字来说,就是斐波那契数列由0和1开始,之后的斐波那契数就由之前的两数相加.
2．递推公式与斐波那契（Fibonacci）数列
例 有一个人把一对（雌雄各一）的大兔子放在自家的院子里饲养,他想知道一年后能生出多少对兔子,假定这对大兔子每月可生雌雄各一的一对小兔子,而新生的一对小兔子经过一个月可以长成大兔子,以后也是每月产雌雄各一的一对小兔子.问：一年后（也就是到第13个月开始）能生出多少对兔子?
解 由题设知,第一个月有一对兔子,第二个月开始时有两对兔子（大、小兔子各一对）,第三个月开始,新出生的小兔子刚长成大兔子还不能产仔,只有原来的一对大兔子产仔一对,共有2+1=3对兔子,它是第一、第二两个月兔子对数的总和.
第四个月开始时,除第三个月出生的一对兔子不产仔外,其余的两对兔子都能产仔,共产小兔子2对,与第二个月兔子的对数相同,因此共有2+3=5对,它等于第二、第三两个月兔子对数的总和.
一般地,可这样考虑：我们用f(n)表示第n个月初兔子的对数.因为第n个月开始时,除第n-1个月新生的兔子不能产仔外,其余的兔子,即在第n-2个月时已有的兔子都能产仔,而第n-2个月共有兔子数为f(n-2)对,故第n个月新生的小兔子共有f(n-2).
又因为第n个月的兔子是由两部分组成,一部分是在第n-1个月时已有的兔子,共f(n-1)对；另一部分是第n个月新生的小兔子,有f(n-2)对.因此,第n个月共有：
f(n)= f(n-1)+ f(n-2) ①
公式①给出了连续多年兔子数之间的关系,我们称公式①为递推公式.
我们已经知道：f(1)=1 ,f(2)=2,当n≥3时,利用公式①可以计算出f(n)的值如下：
f(3)=1+2=3 f(4)=3+2=5
f(5)=5+3=8 f(6)=8+5=13
f(7)=13+8=21 f(8)=21+13=34
f(9)=34+21=55 f(10)=55+34=89
f(11)=89+55=144 f(12)=144+89=233
f(13)=233+144=377
解得：一年后（即第13个月）有兔子377对.
若规定f(0)=1,f(1) =1,由递推公式①可得到数列
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…
数学界把这个数列叫做斐波那契数列,以纪念最先得到这个数列的数学家[斐波那契（Leonardo Fibonacci）,(约1170~1250),是意大利数学家.
3.斐波那契数列性质参考
http://www.baidu.com/s?ct=0&ie=gb2312&bs=%EC%B3%B2%A8%C4%C7%C6%F5%CA%FD%C1%D0+%D0%D4%D6%CA&sr=&z=&wd=%EC%B3%CA%CF%CA%FD%C1%D0+%D0%D4%D6%CA&cl=3&f=8
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