为什么定积分求体积V=π∫(b,a)f(x)2dx

Question

为什么定积分求体积V=π∫(b,a)f(x)2dx

Answer 1

题意没讲清,立体是由曲边梯形{(x,y)|a≤x≤b,0≤y≤f(x)}区域绕x轴旋转一周所得的旋转体.
关键是你对【元素法（微元法）】的理解,或者说对【dx】的理解.
注意【dx】是平面截面薄片的厚度.
【体积元素】就是平行截面切成的薄片,这是意大利数学家卡瓦列利﹝BonaventuraCavalieri﹞的思想.
垂直于旋转轴x的截面积为πR^2,而这个R与x有关,即R=f(x),所以【厚度为dx】的薄片体积（即【体积元素】）就是dv={π[f(x)]^2}dx.
于是体积为V=π∫[f(x)]^2}dx.
在意大利数学家卡瓦列利﹝BonaventuraCavalieri﹞表述这个思想之前1100年,祖暅（祖冲之之子）也明确说过“夫叠基成积,幂势既同,则积不容异”一个立体的体积（积）可以看作一片片薄饼子（基）叠（叠）成,只要薄饼子底面积（幂势）S(x)一样的,不同的立体体积（积）都不会（不容）有差别（异）.都是
∫S(x)dx
简单一点的想像：πR²是圆的面积,圆柱体积就是圆面积乘以高.
对于曲线f(x)绕轴旋转,你可以想像把它切割成一层一层的圆(半径R相当于f(X)) 高就是定积分上下限的差.V=π∫(b,a)f(x)^2dx 这样想就记牢这个公式了.
在区间[b,a]内,f(x)旋转一周所得旋转体的体积,在x (b < x < a)处,该旋转体的截面半径为f(x),截面积为πf²(x),体积=π∫(b,a)f²(x)dx