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求根号(1-e^(-2x))在0到In2上的定积分
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求根号(1-e^(-2x))在0到In2上的定积分
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答案和解析
令t=√(1-e^(-2x) ),t^2=(1-e^(-2x) ),e^(2x)=1/(1-t^2)
2e^(2x)dx=2tdt/(1-t^2)^2,dx=[tdt/(1-t^2)^2]/e^(2x)=tdt/(1-t^2)
不定积分：∫√(1-e^(-2x) )dx=∫t^2dt/(1-t^2)
=∫[1/(1-t^2)-1]dt=(1/2)ln[(1+t)/(1-t)]-t+C
定积分关于x的积分限0到ln2,关于t是0到(√3)/2
带入得到结果：ln(2+√3)-(√3)/2
2e^(2x)dx=2tdt/(1-t^2)^2,dx=[tdt/(1-t^2)^2]/e^(2x)=tdt/(1-t^2)
不定积分：∫√(1-e^(-2x) )dx=∫t^2dt/(1-t^2)
=∫[1/(1-t^2)-1]dt=(1/2)ln[(1+t)/(1-t)]-t+C
定积分关于x的积分限0到ln2,关于t是0到(√3)/2
带入得到结果：ln(2+√3)-(√3)/2
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