已知等差数列{an}的通项公式an=3n-1(n∈N*)．设数列{bn}为等比数列，且bn=akn．（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{bn}的公比最小，（ⅰ）写出数列{bn}的前4项；（ⅱ）求数列{kn}的通项公式；（Ⅱ）证明

Question

已知等差数列{a_n}的通项公式an=3n-1(n∈N*)．设数列{b_n}为等比数列，且bn=akn．
（Ⅰ）若b₁=a₁=2，且等比数列{b_n}的公比最小，
（ⅰ）写出数列{b_n}的前4项；
（ⅱ）求数列{k_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：以b₁=a₂=5为首项的无穷等比数列{b_n}有无数多个．

Answer 1

（Ⅰ）观察数列{a_n}的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…．
因为数列{a_n}是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是(5)/(2)，最小公比是4．
（ⅰ）以2为首项，且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128．
（ⅱ）由（ⅰ）可知b₁=2，公比q=4，所以bn=2•4n-1．
又bn=akn=3

k

n

-1，所以3kn-1=2•4n-1，n∈N*，
即kn=(1)/(3)(2•4n-1+1)，n∈N*．
再证k_n为正整数．
显然k₁=1为正整数，n≥2时，
kn-kn-1=(1)/(3)(2•4n-1-2•4n-2)=(1)/(3)•2•4n-2(4-1)=2•4n-2，
即kn=kn-1+2•4n-2(n≥2)，
故kn=(1)/(3)(2•4n-1+1)，n∈N*为正整数．
所以，所求通项公式为kn=(1)/(3)(2•4n-1+1)，n∈N*；
（Ⅱ）证明：设数列{c_n}是数列{a_n}中包含的一个无穷等比数列，
且c1=ak1=5，c2=ak2=3k2-1，
所以公比q=(3k2-1)/(5)．因为等比数列{c_n}各项为整数，所以q为整数．
取k₂=5m+2（m∈N^*），则q=3m+1，故cn=5•(3m+1)n-1．
只要证cn=5•(3m+1)n-1是数列{a_n}的项，即证3k_n-1=5•（3m+1）^n-1．
只要证kn=(1)/(3)[5(3m+1)n-1+1]（n∈N^*）为正整数，显然k₁=2为正整数．
又n≥2时，kn-kn-1=(5)/(3)[(3m+1)n-1-(3m+1)n-2]=5m(3m+1)n-2，
即kn=kn-1+5m(3m+1)n-2，
又因为k₁=2，5m（3m+1）^n-2都是正整数，
故n≥2时，k_n<