设数列{nan}为正的单调递减数列，且∞n＝2anlnn收敛，证明：limn→∞nanlnlnn=0．

Question

设数列{na_n}为正的单调递减数列，且

∞

n＝2

(an)/(lnn)收敛，证明：

lim

n→∞

nanlnlnn=0．

Answer 1

因为{na_n}为正的单调递减数列，
所以

lim

n→∞

nan＝L存在．
由于

∞

n＝2

(an)/(lnn)收敛，可知必有L=0．
因为(an)/(lnn)＝

∫

n+1 n

(an)/(lnn)dx＝

∫

n+1 n

(1)/(nlnn)nandx≥

∫

n+1 n

(1)/(xlnx)nandx≥nan

∫

n+1 n

(1)/(xlnx)dx≥（n+p）a_n+p（lnln（n+1）-lnlnn），(n+p)an+p(lnln(n+p)−lnlnn)≤

n+p−1

k＝n

(ak)/(lnk)，(n+p)an+plnln(n+p)≤

n+p−1

k＝n

(ak)/(lnk)+(n+p)an+plnlnn，
所以对任意ε＞0，存在正整数N，使得对任意正整数p，成立：

n+p−1

k＝N

(ak)/(lnk)＜ε，
（N+p）a_N+plnln（N+p）＜ε+（N+p）a_N+plnlnN，
在上式中，令p→+∞，取极限，可得：
0≤

.

lim

p→∞

(N+p)aN+plnln(N+p)≤ε．
由ε＞0的任意性，则得：

.

lim

p→∞

(N+p)aN+plnln(N+p)＝0，
显然，＋mathop

lim

.

limitsp→∞(N+p)aN+plnln(N+p)＝0<

作业帮用户 2017-10-23