设数列{an}的前n项和Sn满足6Sn+1=9an（n∈N+）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=1an，证明：b1+b2+…+bn＜92．

Question

设数列{a_n}的前n项和S_n满足6S_n+1=9a_n（n∈N⁺）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=(1)/(an)，证明：b₁+b₂+…+b_n＜(9)/(2)．

Answer 1

（Ⅰ）当n=1时，6a₁+1=9a₁，解得a₁=(1)/(3)，
当n≥2时，6S_n+1=9a_n ①，6S_n-1+1=9a_n-1 ②，
两式相减得6a_n=9a_n-9a_n-1，
即a_n=3a_n-1，
即{a_n}是首项a₁=(1)/(3)，公比q=3的等比数列，
则数列{a_n}的通项公式an＝(1)/(3)•3n−1＝3n−2；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=(1)/(an)，则b_n=(1)/(an)=((1)/(3))n−2，
则{b_n}是首项b₁=3，公比q=(1)/(3)的等比数列，
则b₁+b₂+…+b_n=(3(1−((1)/(3))n))/(1−(1)/(3))=(9)/(2)[1−((1)/(3))n]＜(9)/(2)．
即不等式成立．