如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC，CD的中点，则下列结论：①AF⊥DE；②AF=DE；③AD=BP；④PE+PF=2PC．其中结论正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个

Question

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC，CD的中点，则下列结论：①AF⊥DE；②AF=DE；③AD=BP；④PE+PF=

√(2)PC．其中结论正确的有（　　）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

Answer 1

∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，
而点E、F分别为BC，CD的中点，
∴DF=CE，
在△ADF和△DCE中，

AD=DC

∠ADF=∠DCE

DF=CE

，
∴△ADF≌△DCE，
∴AF=DE，所以②正确，
∠DAF=∠CDE，
而∠DAF+∠DFA=90°，
∴∠CDE+∠DFA=90°，
∴∠DPF=90°，
∴AF⊥DE，所以①正确；
作BG∥DE交AF于M，交AD于G，如图1，则四边形BEDG为平行四边形，
∴BE=DG=(1)/(2)AD，
∴GM为△APD的中位线，
∴AM=MP，
∵AP⊥DE，
∴AP⊥BG，
∴BM垂直平分AP，
∴BP=BA=AD，所以③正确；
延长DE到N使EN=PF，连结CN，如图2，
∵∠CFP=90°+∠3，∠CEN=90°+∠3，
∴∠CFP=∠CEN，
在△CFP和△CEN中，

CF=CE

∠CFP=∠CEN

FP=EN

，
∴△CFP≌△CEN，
∴CP=CN，∠1=∠2，
∵∠1+∠PCE=90°，
∴∠2+∠PCE=90°，即∠PCN=90°，
∴△PCN为等腰直角三角形，
∴PN=√(2)PC，
∴PE+EN=PE+PF=√(2)PC，所以④正确．
故选D．