如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP=CQ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在直线对折得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M．（1）求证：AP⊥BQ；（2）若AB=

Question

如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP=CQ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在直线对折得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M．

（1）求证：AP⊥BQ；
（2）若AB=3，BP=2PC，求QM的长；
（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC．
∴在△ABP和△BCQ中，

AB=BC

∠ABC=∠C

BP=CQ

，
∴△ABP≌△BCQ，
∴∠BAP=∠CBQ．
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠CBQ+∠APB=90°，
∴∠BEP=90°，
∴AP⊥BQ；
（2） ∵正方形ABCD中，AB=3，BP=2CP，
∴BP=2，
由（1）可得NQ=CQ=BP=2，NB=3．
又∵∠NQB=∠CQB=∠ABQ，
∴MQ=MB．
设MQ=MB=x，则MN=x-2．
在直角△MBN中，MB²=BN²+MN²，
即x²=3²+（x-2）²，
解得：x=(13)/(4)，即MQ=(13)/(4)；
（3）∵BP=m，CP=n，
由（1）（2）得MQ=BM，CQ=QN=BP=m，
设AM=y，BN=BC=m+n，
在直角△BNM中，MB=y+m+n，MN=MQ-QN=（y+m+n）-m=y+n，
（y+m+n）²=（m+n）²+（y+n）²，
即y²+2（m+n）y+（m+n）²=（m+n）²+y²+2ny+n²，
则y=(n2)/(2m)，AM=(n2)/(2m)．