如图，E、F是正方形ABCD外接圆上的两个点，且∠EBF=45°，AD与BF的延长线交于点P，求证：（1）EC∥BP；（2）BP•BE=2AB2．

Question

如图，E、F是正方形ABCD外接圆上的两个点，且∠EBF=45°，AD与BF的延长线交于点P，求证：

（1）EC∥BP；
（2）BP•BE=√(2)AB²．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴

CAB

的度数=270°，
∴∠E=(1)/(2)×270°=135°，
∵∠EBF=45°，
∴∠E+∠EBF=180°，
∴EC∥BP；

（2）连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，BD=√(2)AB，AP∥BC，AB=BC，
∴∠PDB=135°，
∴∠PDB=∠E，
∵AP∥BC，CE∥PB，
∴∠P=∠PBC=∠ECB，
∴△PBD∽△BCE，
∴(PB)/(BC)=(BD)/(BE)，
∴(PB)/(AB)=(√(2)AB)/(BE)，
∴BP•BE=√(2)AB²．