数列an的前n项和Sn=An2+Bn是数列an成等差数列的什么条件?试证明.

Question

数列an的前n项和Sn=An2+Bn是数列an成等差数列的什么条件?试证明.

Answer 1

当Sn=An^2+Bn时,
n=1时,a1=s1=A+B
n>1时,an=Sn-S(n-1)=A(2n-1)+B
an-a(n-1)=2A
因此{an}为等差数列.所以充分性成立.
反过来,当{an}为等差数列时,有Sn=a1n+n(n-1)d/2=n^2*d/2+n(a1-d/2)=An^2+Bn
这里A=d/2,B=a1-d/2.所以必要性成立.
所以这是充要条件