一道不等式x^2-3xy+y^2=2求x^2+y^2的值域.答案说是2到4

Question

一道不等式
x^2-3xy+y^2=2求x^2+y^2的值域.
答案说是2到4

Answer 1

设x=u+v,y=u-v,代入化简条件可得：
x^2-3xy+y^2=(u+v)^2-3(u+v)(u-v)+(u-v)^2=2
上式化简得：5v^2-u^2=2.(*)
所要求的结论化为：
x^2+y^2=2(u^2+v^2)
利用(*),有u^2=5v^2-2,转移变量取值范围因u^2>=0,所以v必须满足5v^2-2>=0
解得：v^2>=2/5.于是2(u^2+v^2)=2(5v^2-2+v^2)=2(6v^2-2)>=4/5
所以x^2+y^2值域为[4/5,+∞)
我确定答案是错的.因为我们不妨再看一种方法：
解二：
由已知条件得
3xy=(x^2+y^2)-2 得于是,6xy=2(x^2+y^2)-4
由基本不等式得2|xy|