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如右图,∠POQ=20°,A为OQ上的点,B为OP上的一点,且OA=1,OB=2,在OB上取点A1,在AQ上取点A2,设l=AA1+A1A2+A2B,求l的最小值.

题目详情
如右图,∠POQ=20°,A为OQ上的点,B为OP上的一点,且OA=1,OB=2,在OB上取点A1,在AQ上取点A2,设l=AA1+A1A2+A2B,求l的最小值.
▼优质解答
答案和解析
作OQ关于OP的对称射线OM,A关于OP的对称点A′,
∴AA1=A′A1
则AA1+A1A2=A′A1+A1A2
根据“两点之间线段最短”,
当A′,A1,A2在一条直线时,AA1+A1A2最小=A′A2
同理,作OM关于OQ的对称射线ON,A′关于OQ的对称点A″,
∴A′A2=A″A2
则A2B=A″A2+A2B,
根据“两点之间线段最短”,
当A″,A2,B在一条直线上时,A′A2+A2B最小=A″B,
由对称可知:∠POQ=∠POM=20°,即∠MOQ=40°,
再由对称可知:∠NOQ=∠MOQ=40°,且OA=OA′=OA″=1,
在△OA″B,∠A″OB=∠POQ+∠NOQ=20°+40°=60°,
取OB的中点E,连接A″E,如图所示:
则OA″=OE=BE=
1
2
OB=1,
又∠A″OB=60°,
∴△OA″E为等边三角形,
∴∠OEA″=60°,A″E=1,即A″E=BE,
∴∠BA″E=∠B,
又∠OEA″是△A″EB的外角,
∴∠OEA″=∠BA″E+∠B=2∠B=60°,
∴∠B=30°,
∴∠OA″B=180°-60°-30°=90°,
∴△OA″B为直角三角形,
A″B=
OB2−OA″2
=
3

则l=AA1+A1A2+A2B的最小值为
3