如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y＝kx也经过A点．（1）求点A坐标；（2）求k的值；（3）若点P为x正半轴

Question

如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y＝(k)/(x)也经过A点．

（1）求点A坐标；
（2）求k的值；
（3）若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若点P为x负半轴上一动点，在点A的左侧的双曲线上是否存在一点N，使得△PAN是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）作AD⊥x轴于D
∵△AOB为等腰直角三角形
∴OD=AD=BD
设A（a，a），
则a=3a-4，
解得a=2
∴点A（2，2）；
（2）又点A在y＝(k)/(x)上，
∴k=4，反比列函数为y＝(4)/(x)；
（3）存在．                    
设M（m，n）
∵∠PAM=∠OAB=90°
∴∠OAP=∠BAM
∵OA=AB  AP=AM
∴△OAP≌△BAM
∴∠ABM=∠AOP=45°
∴∠OBM=90°，即MB⊥x轴
∵△ABO是等腰直角三角形，A（2，2）
∴OB=4  
∵点M在y＝(4)/(x)上
∴M（4，1）；
（4）不存在                  
由（3）中所证易知：
假设在双曲线上存在点N，
若△PAN为等腰直角三角形
则：△PAB≌△NAO
∴∠NOA=∠PBA=45°
∴∠NOB=90°
则点N在y轴上，
∴点N不在双曲线上
∴点N不存在．