（2014•北京）如图，AB是⊙O的直径，C是AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长．

Question

（2014•北京）如图，AB是⊙O的直径，C是

AB

的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．
（1）求证：AC=CD；
（2）若OB=2，求BH的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵C是

AB

的中点，AB是⊙O的直径，
∴CO⊥AB，
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴OC∥BD，
∵OA=OB，
∴AC=CD；

（2）∵E是OB的中点，
∴OE=BE，
在△COE和△FBE中，

∠CEO＝∠FEB

OE＝BE

∠COE＝∠FBE

，
∴△COE≌△FBE（ASA），
∴BF=CO，
∵OB=2，
∴BF=2，
∴AF=√(AB2+BF2)=2√(5)，
∵AB是直径，
∴BH⊥AF，
∴△ABF∽△BHF，
∴(AB)/(BH)=(AF)/(BF)，
∴AB•BF=AF•BH，
∴BH=(AB•BF)/(AF)=(4×2)/(2√(5))=(4√(5))/(5)．