已知直线y=kx+1交抛物线y=x2于A、B两点.(1)求证:OA⊥OB（2）当△OAB面积为根号10的时候,求k值（3）求满足条件2是线段AB的长

Question

已知直线y=kx+1交抛物线y=x2于A、B两点.(1)求证:OA⊥OB（2）当△OAB面积为根号
10的时候,求k值（3）求满足条件2是线段AB的长

Answer 1

1）
直线y＝kx+1交抛物线y＝x²于A、B两点
有如下关系
x²=kx+1
x²-kx-1=0
设A点坐标为(p,p²),B点坐标为(q,q²)
直线OA的斜率为p²/p=p ,直线OB的斜率为q²/q=q
因为p,q是方程x²-kx-1=0得两个解,根据一元二次方程解得性质得
p+q=k pq=-1
所以OA⊥OB
（2）
A,B在y＝kx+1上
所以A点坐标又可表示为(p,kp+1),
B可表示为(q,kq+1),
|OA|²=p²+p^4
|OB|²=q²+q^4
(S△AOB)²=|OA|²*|OB|²/2²
（根号10）²=(p²+p^4)(q²+q^4)/4
p²q²+p²q²q²+p²p²q²+p^4q^4=40
将pq=-1代入得
(-1)²+(-1)²q²+p²(-1)²+(-1)^4=40
1+p²+q²+1=40
p²+q²=38
p²+q²+2pq=38+2pq
(p+q)²=36
k²=36
k=±6
（3）|AB|=根号下（xa-xb)^2+(ya-yb)^2 ya=xa^2 yb=xb^2
(xa-x)^2=xa^2+xb^2-2xaxb 这题你分k=6和-6两种情况 y=x^2 与y=kx+1联立 根与系数的关系（韦达定理）就能做出来
我明天早上还要考试 今晚得早睡了 这问实在没时间算了 把思路给你你自己写吧~