由y=x平方,y=0,x=a（a大于0）围成的一曲边三角形oab,在曲线弧ob上求一点（x、y）使得过此点所作曲线y=x平方的切线与oa,ob围成得三角形man面积最大

Question

由y=x平方,y=0,x=a（a大于0）围成的一曲边三角形oab,在曲线弧ob上求一点（x、y）使得过此点所作曲线y=x平方的切线与oa,ob围成得三角形man面积最大

Answer 1

设此点为A（x0,y0）
则因为A点在抛物线上 故y0=x0^2 (^ 就是指数的意思 y0=x0^2就是 y0=x0平方)
同时,因为A在抛物线上,故过A点做得的切线斜率是2*x0 (* 是乘号的意思)
所以切线方程为 y=2*x0*(x-x0)+y0
=2*x0*x-x0^2 (y0=x0^2 )
则：可设该切线叫oa于m,交ab于n 三角形man为直角三角形 a为直角顶点
有：m（x0/2,0） n(a,2*x0*a-x0^2)
am=a-x0/2 an=2*x0*a-x0^2
三角形man面积为1/2*an*am=2*(x0/2)*(a-x0/2)*（a-x0/2）
再用重要不等式：三角形man面积>={[2*(x0/2)+(a-x0/2)+(a-x0/2)]/3}^2
=4*a^2/9
上式当2*(x0/2)=a-x0/2=a-x0/2即x0=3*a/2时取等
即 x0=3*a/2 y0=9*a/4 时 三角形man面积最大 为 4*（a^2）/9
至于这里如何得到的切线斜率为2*x0,这要用到高三学的导数的知识,你若还没学就可以用y=kx+b的方程与y=x^2联立,直线与抛物线相切时,所得方程组有两相等实根,用判别式=0可以得到k的值
至于重要不等式,是abc