（2014•路南区三模）如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点，将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则下列说法：①∠ABC=30°；②弧AC的长与弧OC的长相等；③弦B

Question

（2014•路南区三模）如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点，将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则下列说法：
①∠ABC=30°；
②弧AC的长与弧OC的长相等；
③弦BC的长为4√(3)；
④阴影部分的面积是(8π)/(3)，
其中正确的个数是（　　）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接CD，如图，
∵OD⊥BC，
∴BE=CE，
∵半圆O沿BC所在的直线折叠，圆弧BC恰好过圆心O，
∴ED=EO，
∴OE=(1)/(2)OB，
∴∠OBC=30°，即∠ABC=30°，所以①正确；
∴∠BOD=∠COD=60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴弧OC的长=(60•π•4)/(180)=(4)/(3)π，
∵∠AOC=60°，
∴弧AC的长=(60•π•4)/(180)=(4)/(3)π，
∴弧AC的长与弧OC的长相等，所以②正确；
在Rt△OBC中，OE=2，∠OBE=30°，
∴BE=√(3)OE=2√(3)，
∴BC=2BE=4√(3)，所以③正确；
∵OC=OB，
∴弓形OC的面积=弓形OB的面积，
∴S_阴影部分=S_扇形OAC=(60•π•42)/(360)=(8)/(3)π，所以④正确．
故选D．