已知a、b不共线,向量OA=αa,向量OB=βb,其中α、β∈R且α,β不=0,点C在直线AB上,且向量OC=xa+yb,求证x/α+y/β=1

Question

已知a、b不共线,向量OA=αa,向量OB=βb,其中α、β∈R且α,β不=0,点C在直线AB上,且向量OC=xa+yb,求证x/α+y/β=1

Answer 1

因为AC=OC-OA=(x-α)a+yb,
AB=OB-OA=-αa+βb,
又因为点C在直线AB上,
所以AC与AB共线,
则AC=kAB,
即(x-α)a+yb=k(-αa+βb),
因为a,b不共线,
可得x-α=-αk,
y=βk,
两式相除,约去k,再整理,
得x/α+y/β=1.