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如图,点O是等边三角形△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=a,以OC为一边作等边△OCD,连接AD.(1)当a=150°,证明:△AOD是直角三角形;(2)探究:当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?
题目详情
如图,点O是等边三角形△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=a,以OC为一边作等边△OCD,连接AD.
(1)当a=150°,证明:△AOD是直角三角形;
(2)探究:当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?
(1)当a=150°,证明:△AOD是直角三角形;
(2)探究:当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,∠BCA=60°.
∵∠BCO+∠OCA=∠ACD+∠OCA,
∴∠BCO=∠ACD.
又∵△OCD是等边三角形,
∴OC=DC,∠ODC=60°,
在△BOC和△ADC中,
∵
,
∴△BOC≌△ADC(SAS),
∴∠BOC=∠ADC=150°,
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°,
∴△AOD是直角三角形;
(2)∵设∠CBO=∠CAD=a,∠ABO=b,∠BAO=c,∠CAO=d,
则a+b=60°,b+c=180°-110°=70°,c+d=60°,a+d=50°∠DAO=50°,
∴b-d=10°,
∴(60°-a)-d=10°,
∴a+d=50°,
即∠CAO=50°,
①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,
∴190°-α=α-60°,
∴α=125°;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO,
∴α-60°=50°,
∴α=110°;
所以当α为110°、125°时,△AOD是等腰三角形.
∴BC=AC,∠BCA=60°.
∵∠BCO+∠OCA=∠ACD+∠OCA,
∴∠BCO=∠ACD.
又∵△OCD是等边三角形,
∴OC=DC,∠ODC=60°,
在△BOC和△ADC中,
∵
|
∴△BOC≌△ADC(SAS),
∴∠BOC=∠ADC=150°,
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°,
∴△AOD是直角三角形;
(2)∵设∠CBO=∠CAD=a,∠ABO=b,∠BAO=c,∠CAO=d,
则a+b=60°,b+c=180°-110°=70°,c+d=60°,a+d=50°∠DAO=50°,
∴b-d=10°,
∴(60°-a)-d=10°,
∴a+d=50°,
即∠CAO=50°,
①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,
∴190°-α=α-60°,
∴α=125°;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO,
∴α-60°=50°,
∴α=110°;
所以当α为110°、125°时,△AOD是等腰三角形.
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