在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点A（0，m），点C（n，0），且m、n满足m+2+（n-2）2=0．（1）求点A、C的坐标；（2）如图1，点D为第一象限内一动点，连CD、BD、OD，∠

Question

在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点A（0，m），点C（n，0），且m、n满足√(m+2)+（n-2）²=0．
（1）求点A、C的坐标；
（2）如图1，点D为第一象限内一动点，连CD、BD、OD，∠ODB=90°，试探究线段CD、OD、BD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图2，点F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），(OM+AN)/(BN)的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值．

Answer 1

（1）m、n满足√(m+2)+（n-2）²=0，
∴m=-2，n=2，
∴A（0，-2）、C（2，0）；
（2）在BD上截取BQ=OD，连接CQ，如图中的图1，
∵OC=OA，
∴矩形OABC是正方形，
OC=OB，∠OCB=90°
∵BD⊥OD，
∴∠BOD=90°，
∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1=∠2，
∠DOC=∠QBC，
在△DOC和△QBC中，

DO＝QB

∠DOC＝∠QBC

OC＝BC

，
∴△CDO≌△CQB（SAS），
∴CD=CQ，∠DCO=∠QCB
∴∠DCO+∠OCQ=∠QCB+∠OCQ
∴∠DCQ=∠OCB=90°，
在Rt△DCQ中，由勾股定理得
CD²+CQ²=DQ²
∴2CD²=DQ²
∴√(2)CD=DQ
∴√(2)CD=BD-BQ
∴√(2)CD=BD-OD；
（3）(OM+AN)/(BN)的值不变，理由如下
过A点作AG⊥OM的延长线于G，如图中的图2
∵OM⊥BF，AN⊥BF，AG⊥OM
∴四边形MGAN是矩
∴AN=MG，∠OGA=∠GAN．
∴∠1+∠2=∠2+∠3
∴∠1=∠3，
在△OGA和△BNA中，

作业帮用户 2017-10-06

问题解析

（1）根据解方程，可得m、n的值，根据m、n的值，可得答案；
（2）根据三角形的内角和，可得∠DOC与∠∠QBC的关系，根据SAS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得DC与CQ的关系，根据等式的性质，可得∠DCQ的度数，根据勾股定理，可得答案；
（3）根据矩形的判断与性质，可得AN与GM的关系，根据同角的余角相等，可得∠OAG与∠BAN的关系，根据ASA，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得GO与BN的关系，根据等量代换，可得答案．

名师点评

本题考点：

全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质．

考点点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，余角的性质．

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