如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=12AB，证明：OM=12CD．

Question

如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=(1)/(2)AB，证明：OM=(1)/(2)CD．

Answer 1

证明：设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，
在直角△CON中，CN=√(OC2−ON2)=√(r2−x2)，
∵ON⊥CD，
∴CD=2CN=2√(r2−x2)，
∵OM⊥AB，
∴AM=(1)/(2)AB=x，
在△AOM中，OM=√(OA2−AM2)=√(r2−x2)，
∴OM=(1)/(2)CD．