在正方形ABCD中,AC、BD交于O,DE平分∠ADB交AC于M,交AB于E,求证BE=2OM

Question

在正方形ABCD中,AC、BD交于O,DE平分∠ADB交AC于M,交AB于E,求证BE=2OM

Answer 1

做MF⊥AD于F
∵DE平分∠ADB,正方形∠AOD=90°即MO⊥BD
∴OM=MF
显然△AFM是等腰直角三角形
∴AM=√2MF=√2OM
∴OA=OD=OB=AM+OM=(√2+1)OM
做EG⊥BD于G
显然△BEG是等腰直角三角形
∴EG=BG=√2/2BE
∴DG=OD+OG=2OD-BG=2(√2+1)OM-√2/2BE
∵AO⊥BD,EG⊥BD
∴OM∥EG
∴△DOM∽△DGE
∴OM/EG=OD/DG
OM/(√2/2BE)=(√2+1)OM/[2(√2+1)OM-√2/2BE]
√2/2BE×(√2+1)=2(√2+1)OM-√2/2BE
(2√2+2)BE=4(√2+1)OM
(2√2+2)BE=2(2√2+2)OM
BE=2OM