如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB=PD，PA⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．求证：（1）OM∥平面PAD；（2）OM⊥平面PCD．

Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD⊥平面 ABCD，PB=PD，PA⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．求证：

（1）OM∥平面PAD；
（2）OM⊥平面PCD．

Answer 1

证明：（1）连结AC，
因为ABCD 是平行四边形，所以O为AC的中点． …（2分）
在△PAC中，因为O，M分别是AC，PC的中点，
所以OM∥PA．…（4分）
因为OM⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，
所以OM∥平面PAD． …（6分）
（2）连结PO．因为O是BD的中点，PB=PD，
所以PO⊥BD．
又因为平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平
面ABCD=BD，PO⊂平面PBD
所以PO⊥平面ABCD．
从而PO⊥CD．…（8分）
又因为CD⊥PC，PC∩PO=P，PC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，
所以CD⊥平面PAC．
因为OM⊂平面PAC，所以CD⊥OM． …（10分）
因为PA⊥PC，OM∥PA，所以OM⊥PC．…（12分）
又因为CD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，CD∩PC=C，
所以OM⊥平面PCD．…（14分）