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如图,在等腰直角△OPQ中,∠POQ=90°,OP=2,点M在线段PQ上.(1)若OM=,求PM的长;(2)若点N在线段MQ上,且∠MON=30°,问:当∠POM取何值时,△OMN的面积最小?并求出面积的最小值.
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如图,在等腰直角△OPQ中,∠POQ=90°,OP=2 ![]() ![]() (1)若OM= ![]() (2)若点N在线段MQ上,且∠MON=30°,问:当∠POM取何值时,△OMN的面积最小?并求出面积的最小值. |
▼优质解答
答案和解析
(1) MP=1或MP=3 (2) ∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4 ![]() |
解:(1)在△OMP中,∠OPM=45°,OM= ![]() ![]() 由余弦定理得,OM 2 =OP 2 +MP 2 -2OP·MP·cos45°, 得MP 2 -4MP+3=0, 解得MP=1或MP=3. (2)设∠POM=α,0°≤α≤60°, 在△OMP中,由正弦定理, 得 ![]() ![]() 所以OM= ![]() 同理ON= ![]() 故S △OMN = ![]() = ![]() ![]() = ![]() = ![]() = ![]() = ![]() = ![]() = ![]() 因为0°≤α≤60°, 30°≤2α+30°≤150°, 所以当α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1, 此时△OMN的面积取到最小值. 即∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4 ![]() |
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