如图,在等腰直角△OPQ中,∠POQ=90°,OP=2,点M在线段PQ上.(1)若OM=,求PM的长;(2)若点N在线段MQ上,且∠MON=30°,问:当∠POM取何值时,△OMN的面积最小?并求出面积的最小值.

Question

如图,在等腰直角△OPQ中,∠POQ=90°,OP=2 ,点M在线段PQ上.

(1)若OM= ,求PM的长;
(2)若点N在线段MQ上,且∠MON=30°,问:当∠POM取何值时,△OMN的面积最小?并求出面积的最小值.

Answer 1

(1) MP=1或MP=3   (2) ∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4

解:(1)在△OMP中,∠OPM=45°,OM= ,OP=2 ,
由余弦定理得,OM ² =OP ² +MP ² -2OP·MP·cos45°,
得MP ² -4MP+3=0,
解得MP=1或MP=3.
(2)设∠POM=α,0°≤α≤60°,
在△OMP中,由正弦定理,
得 = ,
所以OM= ,
同理ON= .
故S _△OMN = OM·ON·sin∠MON
= ×
=
=
=
=
=
= .
因为0°≤α≤60°,
30°≤2α+30°≤150°,
所以当α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1,
此时△OMN的面积取到最小值.
即∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4 .