已知定义域为R的偶函数，f（x）满足对任意的x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当，x∈[2，3]时，f（x）=-（x-2）2+1．若函数y=f（x）-a（x-1112）在（0，+∞）上恰有三个零点

Question

已知定义域为R的偶函数，f（x）满足对任意的x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当，x∈[2，3]时，f（x）=-（x-2）²+1．若函数y=f（x）-a（x- (11)/(12)）在（0，+∞）上恰有三个零点，则实数a的取值范围是___．

Answer 1

∵f（x+2）=f（x）-f（1），
且f（x）是定义域为R的偶函数，
令x=-1可得f（-1+2）=f（-1）-f（1），
又f（-1）=f（1），
∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），
∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．
当x∈[2，3]时，f（x）=-（x-2）²+1，
若x∈[0，1]，则x+2∈[2，3]，
则f（x）=f（x+2）=-（x+2-2）²+1=-x²+1，
即f（x）=-x²+1，x∈[0，1]，
若x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，
即f（-x）=-x²+1=f（x），
即f（x）=-x²+1，x∈[-1，0]，
综上f（x）=-x²+1，x∈[-1，1]，
由函数y=f（x）-a（x-(11)/(12)）=0，
得函数f（x）=a（x-(11)/(12)），
设y=a（x-(11)/(12)），
作出函数f（x）和y=a（x-(11)/(12)）的图象如图，
要使函数y=f（x）-a（x-(11)/(12)）在（0，+∞）上恰有三个零点，
则a>0，
当x∈[1，2]，则x-2∈[-1，0]，
则f（x）=f（x-2）=-（x-2）²+1，x∈[1，2]，
当x∈[3，4]，则x-2∈[1，2]，
则f（x）=f（x-2）=-（x-4）²+1，x∈[3，4]，
由-（x-2）²+1=a（x-(11)/(12)）整理得x²+（a-4）x+3-(11)/(12)a=0，
由判别式△=（a-4）²-4（3-(11)/(12)a）=0，
整理得3a²-13a+12=0得a=3（由图象知不合适）或a=(4)/(3)，
由-（x-4）²+1=a（x-(11)/(12)）整理得x²+（a-8）x+15-a=0，
由判别式△=（a-8）²-4（15-(11)/(12)a）=0，
整理得3a²-37a+12=0得a=12（由图象知不合适）或a=(4)/(3)，
综上，要使函数y=f（x）-a（x-(11)/(12)）在（0，+∞）上恰有三个零点，
则(1)/(3)<a<(4)/(3)，
故答案为：（(1)/(3)，(4)/(3)）．