已知a,b,c∈（0,1）,求证(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能都大于1/4要详细的解答啊

Question

已知a,b,c∈（0,1）,求证(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能都大于1/4
要详细的解答啊

Answer 1

证明：用反证法来证明
假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4,
由于a,b,c∈(0,1),
所以
√[(1-a)b]>1/2,
√[(1-b)c]>1/2,
√[(1-c)a]>1/2,
即√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]>3/2············①
又因为
√[(1-a)b]≤(1-a+b)/2,·············②
√[(1-b)c]≤(1-b+c)/2,
√[(1-c)a]≤(1-c+a)/2,
所以√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]≤3/2,
这与①式：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2矛盾.
所以假设不成立,
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于1/4.
注：本题用到了以下的基本不等式：
由于(√a-√b)^2≥0,展开得：a+b≥2√ab,即：√ab≤(a+b)/2.
②式利用了该基本不等式