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已知abc大于0求证2(a^3+b^3+c^3)大于等于a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
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已知abc大于0求证2(a^3+b^3+c^3)大于等于a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
▼优质解答
答案和解析
(a+b)*(a^2+b^2-ab)=a^3+b^3
(a+c)*(a^2+c^2-ac)=a^3+c^3
(b+c)*(b^2+c^2-bc)=b^3+c^3
所以2(a^3+b^3+c^3)=
(a+b)*(a^2+b^2-ab)+(a+c)*(a^2+c^2-ac)+(b+c)*(b^2+c^2-bc)>=(a+b)ab+(a+c)ac+(b+c)bc=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
证毕.
(a+c)*(a^2+c^2-ac)=a^3+c^3
(b+c)*(b^2+c^2-bc)=b^3+c^3
所以2(a^3+b^3+c^3)=
(a+b)*(a^2+b^2-ab)+(a+c)*(a^2+c^2-ac)+(b+c)*(b^2+c^2-bc)>=(a+b)ab+(a+c)ac+(b+c)bc=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
证毕.
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