集合A的幂集P(A)是集合A所有子集的集合求证P(A)∩P(B)=P(A∩B)麻烦写下具体步骤

Question

集合A的幂集P(A) 是集合A所有子集的集合
求证P(A)∩P(B) = P(A ∩ B)
麻烦写下具体步骤

Answer 1

为方便理解,可以画出圆圈的集合示意图,集合A集合B和它们的交集C
设A∩B=C 即A与B的交集为C
那么集合A可以分成集合C和集合A-C
P(A)表示集合A所有子集的集合 P(C) 是集合C所有子集的集合 P(A-C) 是集合A-C所有子集的集合
集合A的所有子集,包括三部分,一种为只含有C的子集,为P(C) ；一种为只含有A-C的子集,为P(A-C) ; 还有一种为同时含有C和A-C的子集,即C的每个子集要与A-C的所有子集组合,显然为乘积关系,即P(C)P(A-C) .
因此有 P(A) = P(C) + P(A-C) + P(C)P(A-C)
对B同样分析,可得 P(B) = P(C) + P(B-C) + P(C)P(B-C)
P(A)∩P(B) = P(C) + { [ P(C)+1 ] × [ P(A-C) ∩ P(B-C) ] }
集合A-C 与 集合B-C 没有交集
所以 P(A-C) ∩ P(B-C) =0
因此 P(A)∩P(B) = P(C)