设A，B均为n阶方阵，x=（x1，x2，…，xn）T，且xTAx=xTBx，当（）时，A=B．A．秩（A）=秩（B）B．AT=AC．BT=BD．AT=A且BT=B

Question

设A，B均为n阶方阵，x=（x₁，x₂，…，x_n）^T，且x^TAx=x^TBx，当（　　）时，A=B．

A．秩（A）=秩（B）
B．A^T=A
C．B^T=B
D．A^T=A且B^T=B

Answer 1

可以证明A为实对称矩阵时，若对任何向量x x^TAx=0，则A=0．
证明：令x=（0，…，0，1，…，1，0，…，0）^T（只有第i，j位置的元素为1，其余都是0）．则x^TAx=2a_ij=0，对任何i，j成立．所以A=0．
所以当A^T=A且，B^T=B时，（A-B）^T=A^T-B^T=A-B，A-B为实对称矩阵．
若对任何向量x，x^TAx=x^TBx，则x^T（A-B）x=0，所以 A-B=0，即A=B．
对于（A）：令A=

0	1	0
0	0	0
0	0	0

，B＝

0	0	0
1	0	0
0	0	0

 则A≠B，r（A）=r（B）．
但是，对于任何三维向量，

X1

X2

X3

 x^TAx=x^TBx=x₁x₂，
（A）不是答案；
对于（B）：取反例 A=

0	(1)/(2)	0
(1)/(2)	0	0
0	0	0

，B=

0	1	0
0	0	0
0	0	0

．
对于C）：取反例 A=

0	1	0
0	0	0
0	0	0

，B=

0	(1)/(2)	0
(1)/(2)	0	0
0	0	0

．
故选：D．