对于函数f（x），若在其定义域内存在两个实数a，b（a＜b），使当x∈[a，b]时，f（x）的值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“科比函数”．若函数f（x）=k+x+2是“科比函数”，则实数k的取值范

Question

对于函数f（x），若在其定义域内存在两个实数a，b（a＜b），使当x∈[a，b]时，f（x）的值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“科比函数”．若函数f（x）=k+√(x+2)是“科比函数”，则实数k的取值范围                            （　　）

A．（−(9)/(4)，0]
B．（−(9)/(4)，-2]
C．[-2，0]
D．[-2，+∞）

Answer 1

∵函数f（x）=k+√(x+2)是“科比函数”，且是增函数，
∴

k+√(a+2)＝a

k+√(b+2)＝b

此式表明：方程k+√(x+2)=x有两个不相等的实数根，
即方程√(x+2)=x-k有两个不相等的实数根，
分别画出左右两边函数：y=√(x+2)和y=x-k的图象，
当直线y=x-k与曲线y=√(x+2)相切时，
√(x+2)=x-k有唯一解，解得k=-(9)/(4)；
当直线y=x-k与曲线上的点（-2，0）时，
解得k=-2；
结合图象可得：当两个函数的图象有两个不同的交点时，
实数k的取值范围是（-(9)/(4)，-2]．
故选B．