这样的二元函数可积吗?有这样一个函数：f(x,y)=[sin(x-y)]/(x-y)显然它在直线x=y上无定义,那它是不是处处可积呢?就是说,如果积分区域包含直线x=y怎么办?我的想法是：一元函数中,有限个可去间

Question

这样的二元函数可积吗?
有这样一个函数：f(x,y)=[sin(x-y)]/(x-y)
显然它在直线x=y上无定义,那它是不是处处可积呢?就是说,如果积分区域包含直线x=y怎么办?
我的想法是：一元函数中,有限个可去间断点不影响函数的可积,比如f(x)=(sin x)/x是可积的.那么推广到二元函数,“间断点”变成“线”,一元积分的面积变成了二元积分的体积,结论还成立吗?
希望回答者负责,混分的别来,

Answer 1

如果准确些讲,只有在不可积点集的测度为0的时候积分才可积,当然测度这个概念要到实变函数里才能学到,你可以简单地理解为不可集点集的长度（一维情况）、面积（二维情况）或者体积（三维）为0时才可积.而你举的例子中,y=x这条直线的面积显然是0,所以积分当然也是可积的.
如果还不明白,你可以研究一下课本里定积分以及重积分分划求和取极限的整个定义的过程,你会发现少量的不可积区域已经在取极限过程中作为高阶无穷小被忽略了,当然这些东西只需要数学专业的学生才需要掌握……