设有二元函数f（x，y）=x2，|x|+|y|≤11x2+y2，1＜|x|+|y|≤2，计算二重积分∫∫Df（x，y）dσ，其中D={（x，y）||x|+|y|≤2}．

Question

设有二元函数f（x，y）=

x2，           |x|+|y|≤1

(1)/(x2+y2)，1＜|x|+|y|≤2

，计算二重积分

∫∫

D

f（x，y）dσ，其中D={（x，y）||x|+|y|≤2}．

Answer 1

∵被积函数关于x，y均为偶函数，且积分区域关于x，y轴均对称
∴

∬

D

f(x，y)dσ＝4

∬

D1

f(x，y)dσ
其中D₁ 是D在第一象限内的部分

∬

D1

f(x，y)dσ＝

∬

x+y≤1

x2dσ+

∬

1≤x+y≤2

(1)/(x2+y2)dσ
=

∫

10

dx

∫

x0

x2dy+(

∫

10

dx

∫

2−x1−x

(1)/(x2+y2)dy)+

∫

21

dx

∫

2−x0

(1)/(x2+y2)dy
=(1)/(12)+

2

ln(1+

2

)
∴

∬

D

f(x，y)dσ＝(1)/(3)+4

2

ln(1+

2

)