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已知一次函数y=-34x+6的图象与坐标轴交于A、B点(如图),AE平分∠BAO,交x轴于点E.(1)求点B的坐标;(2)求直线AE的表达式;(3)过点B作BF⊥AE,垂足为F,连接OF,试判
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已知一次函数 y=-
(1)求点B的坐标; (2)求直线AE的表达式; (3)过点B作BF⊥AE,垂足为F,连接OF,试判断△OFB的形状,并求△OFB的面积. (4)若将已知条件“AE平分∠BAO,交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点(点E不与点O、B重合)”,过点B作BF⊥AE,垂足为F.设OE=x,BF=y,试求y与x之间的函数关系式,并写出函数的定义域. |
▼优质解答
答案和解析
(1)对于y=-
当x=0时,y=6;当y=0时,x=8, ∴OA=6,OB=8, 在Rt△AOB中,根据勾股定理得:AB=10, 则A(0,6),B(8,0); (2)过点E作EG⊥AB,垂足为G(如图1所示), ∵AE平分∠BAO,EO⊥AO,EG⊥AG, ∴EG=OE, 在Rt△AOE和Rt△AGE中,
∴Rt△AOE≌Rt△AGE(HL), ∴AG=AO, 设OE=EG=x,则有BE=8-x,BG=AB-AG=10-6=4, 在Rt△BEG中,EG=x,BG=4,BE=8-x, 根据勾股定理得:x 2 +4 2 =(8-x) 2 , 解得:x=3, ∴E(3,0), 设直线AE的表达式为y=kx+b(k≠0), 将A(0,6),E(3,0)代入y=kx+b得:
解得:
则直线AE的表达式为y=-2x+6; (3)延长BF交y轴于点K(如图2所示), ∵AE平分∠BAO, ∴∠KAF=∠BAF, 又BF⊥AE, ∴∠AFK=∠AFB=90°, 在△AFK和△AFB中, ∵
∴△AFK≌△AFB, ∴FK=FB,即F为KB的中点, 又∵△BOK为直角三角形, ∴OF=
∴△OFB为等腰三角形, 过点F作FH⊥OB,垂足为H(如图2所示), ∵OF=BF,FH⊥OB, ∴OH=BH=4, ∴F点的横坐标为4, 设F(4,y),将F(4,y)代入y=-2x+6,得:y=-2, ∴FH=|-2|=2, 则S △OBF =
(4)在Rt△AOE中,OE=x,OA=6, 根据勾股定理得:AE=
又BE=OB-OE=8-x,S △ABE =
∴BF=
则y=
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