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在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是BC边的中点,作射线DE,与边AB交于点E,射线DE绕点D顺时针旋转120°,与直线AC交于点F.(1)依题意将图1补全;(2)小华通过观察、实验提出猜想:在点E运动
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在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是BC边的中点,作射线DE,与边AB交于点E,射线DE绕点D顺时针旋转120°,与直线AC交于点F.
(1)依题意将图1补全;
(2)小华通过观察、实验提出猜想:在点E运动的过程中,始终有DE=DF.小华把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:由点D是BC边的中点,通过构造一边的平行线,利用全等三角形,可证DE=DF;
想法2:利用等边三角形的对称性,作点E关于线段AD的对称点P,由∠BAC与∠EDF互补,可得∠AED与∠AFD互补,由等角对等边,可证DE=DF;
想法3:由等腰三角形三线合一,可得AD是∠BAC的角平分线,由角平分线定理,构造点D到AB,AC的高,利用全等三角形,可证DE=DF….
请你参考上面的想法,帮助小华证明DE=DF(选一种方法即可);
(3)在点E运动的过程中,直接写出BE,CF,AB之间的数量关系.
(1)依题意将图1补全;
(2)小华通过观察、实验提出猜想:在点E运动的过程中,始终有DE=DF.小华把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:由点D是BC边的中点,通过构造一边的平行线,利用全等三角形,可证DE=DF;
想法2:利用等边三角形的对称性,作点E关于线段AD的对称点P,由∠BAC与∠EDF互补,可得∠AED与∠AFD互补,由等角对等边,可证DE=DF;
想法3:由等腰三角形三线合一,可得AD是∠BAC的角平分线,由角平分线定理,构造点D到AB,AC的高,利用全等三角形,可证DE=DF….
请你参考上面的想法,帮助小华证明DE=DF(选一种方法即可);
(3)在点E运动的过程中,直接写出BE,CF,AB之间的数量关系.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1;
(2)想法1证明:如图2,过D作DG∥AB,交AC于G,
∵点D是BC边的中点,
∴DG=
AB,
∴△CDG是等边三角形,
∴∠EDB+∠EDG=120°,
∵∠FDG+∠EDG=120°,
∴∠EDB=∠FDG,
∵BD=DG,∠B=∠FGD=60°,
∴△BDE≌△GDF,
∴DE=DF;
想法2证明:如图3,连接AD,
∵点D是BC边的中点,
∴AD是△ABC的对称轴,
作点E关于线段AD的对称点P,点P在边AC上,
∴△ADE≌△ADP,
∴DE=DP,∠AED=∠APD,
∵∠BAC+∠EDF=180°,
∴∠AED+∠AFD=180°,
∵∠APD+∠DPF=180°,
∴∠AFD=∠DPF,
∴DP=DF,
∴DE=DF;
想法3证明:如图4,连接AD,过D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,
∵点D是BC边的中点,
∴AD平分∠BAC,
∵DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,
∴DM=DN,
∵∠A=60°,
∴∠MDE+∠EDN=120°,
∵∠FDN+∠EDN=120°,
∴∠MDE=∠FDN,
∴Rt△MDE≌Rt△NDF,
∴DE=DF;
(3)当点F在AC边上时,BE+CF=
AB,
当点F在AC延长线上时,BE-CF=
AB,
证明:①当点F在AC边上时,如图2中,过点D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N.
∵∠B=∠C=60°,BD=DC,∠BDM=∠CDN=30°,
在△BDM与△CDN中,
,
∴△BDM≌△CDN,
∴BM=CN,DM=DN,
又∵∠EDF=120°=∠MDN,
∴∠EDM=∠NDF,
又∵∠EMD=∠FND=90°,
∴△EDM≌△FDN,
∴ME=NF,
∴BE+CF=BM+EM+NC-FN=2BM=BD=
AB;
②当点F在AC延长线上时,如图3,
∵∠B=∠C=60°,BD=DC,∠BDM=∠CDN=30°,
∴△BDM≌△CDN,
∴BM=CN,DM=DN,
又∵∠EDF=120°=∠MDN,
∴∠EDM=∠NDF,
又∵∠EMD=∠FND=90°,
∴△EDM≌△FDN,
∴ME=NF,
∴BE-CF=BM+EM-(FN-CN)=2BM=BD=
AB,
综上所述:当点F在AC边上时,BE+CF=
AB;
当点F在AC延长线上时,BE-CF=
AB.
(2)想法1证明:如图2,过D作DG∥AB,交AC于G,
∵点D是BC边的中点,
∴DG=
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∴△CDG是等边三角形,
∴∠EDB+∠EDG=120°,
∵∠FDG+∠EDG=120°,
∴∠EDB=∠FDG,
∵BD=DG,∠B=∠FGD=60°,
∴△BDE≌△GDF,
∴DE=DF;
想法2证明:如图3,连接AD,
∵点D是BC边的中点,
∴AD是△ABC的对称轴,
作点E关于线段AD的对称点P,点P在边AC上,
∴△ADE≌△ADP,
∴DE=DP,∠AED=∠APD,
∵∠BAC+∠EDF=180°,
∴∠AED+∠AFD=180°,
∵∠APD+∠DPF=180°,
∴∠AFD=∠DPF,
∴DP=DF,
∴DE=DF;
想法3证明:如图4,连接AD,过D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,
∵点D是BC边的中点,
∴AD平分∠BAC,
∵DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,
∴DM=DN,
∵∠A=60°,
∴∠MDE+∠EDN=120°,
∵∠FDN+∠EDN=120°,
∴∠MDE=∠FDN,
∴Rt△MDE≌Rt△NDF,
∴DE=DF;
(3)当点F在AC边上时,BE+CF=
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当点F在AC延长线上时,BE-CF=
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证明:①当点F在AC边上时,如图2中,过点D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N.
∵∠B=∠C=60°,BD=DC,∠BDM=∠CDN=30°,
在△BDM与△CDN中,
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∴△BDM≌△CDN,
∴BM=CN,DM=DN,
又∵∠EDF=120°=∠MDN,
∴∠EDM=∠NDF,
又∵∠EMD=∠FND=90°,
∴△EDM≌△FDN,
∴ME=NF,
∴BE+CF=BM+EM+NC-FN=2BM=BD=
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②当点F在AC延长线上时,如图3,
∵∠B=∠C=60°,BD=DC,∠BDM=∠CDN=30°,
∴△BDM≌△CDN,
∴BM=CN,DM=DN,
又∵∠EDF=120°=∠MDN,
∴∠EDM=∠NDF,
又∵∠EMD=∠FND=90°,
∴△EDM≌△FDN,
∴ME=NF,
∴BE-CF=BM+EM-(FN-CN)=2BM=BD=
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综上所述:当点F在AC边上时,BE+CF=
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当点F在AC延长线上时,BE-CF=
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