（2014•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H．（1）求BE的长；（2）求Rt△ABC与

Question

（2014•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H．
（1）求BE的长；
（2）求Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积．

Answer 1

（1）连结OG，如图，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=3，
∴BC=√(AB2+AC2)=5，
∵Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，
∴AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，
∵EF与半圆O相切于点G，
∴OG⊥EF，
∵AB=4，线段AB为半圆O的直径，
∴OB=OG=2，
∵∠GEO=∠DEF，
∴Rt△EOG∽Rt△EFD，
∴(OE)/(EF)=(OG)/(DF)，即(OE)/(5)=(2)/(3)，解得OE=(10)/(3)，
∴BE=OE-OB=(10)/(3)-2=(4)/(3)；

（2）BD=DE-BE=4-(4)/(3)=(8)/(3)．
∵DF∥AC，
∴△ABC∽△DBH，
∴(DH)/(AC)＝(BD)/(AB)，即(DH)/(3)＝((8)/(3))/(4)，
解得：DH=2．
∴S_阴影=S_△BDH=(1)/(2)BD•DH=(1)/(2)×(8)/(3)×2=(8)/(3)，
即Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积为(8)/(3)．