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如图,凸四边形ABCD中,AB∥CD,且AB+BC=CD+AD.求证:ABCD是平行四边形.
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如图,凸四边形ABCD中,AB∥CD,且AB+BC=CD+AD.求证:ABCD是平行四边形.
▼优质解答
答案和解析
证明:假设ABCD不是平行四边形,即AB≠CD,
不妨设AB>CD.在AB边上取点E,使AE=CD,则AECD是平行四边形,
∴AD=CE,
由AB+BC=CD+AD,
即(AE+EB)+BC=CD+AD,
∴EB+BC=CE,与三角形不等式EB+BC>CE矛盾,
因此,ABCD必是平行四边形.
不妨设AB>CD.在AB边上取点E,使AE=CD,则AECD是平行四边形,
∴AD=CE,
由AB+BC=CD+AD,
即(AE+EB)+BC=CD+AD,
∴EB+BC=CE,与三角形不等式EB+BC>CE矛盾,
因此,ABCD必是平行四边形.
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