有关抛物线的问题对于抛物线y^2=2px证（1）以抛物线上的点与焦点连线为直径的圆与y轴只能相离或相切（2）若相切,则切点与圆心连线平行于x轴

Question

有关抛物线的问题
对于抛物线y^2=2px
证（1）以抛物线上的点与焦点连线为直径的圆与y轴只能相离或相切
（2）若相切,则切点与圆心连线平行于x轴

Answer 1

(1) F(p/2,0)
任取抛物线上的点A(a²/(2p),a)
AF的中点为M(u,v)
u = (p/2 + a²/(2p))/2 = (a² + p²)/(4p)
v = (0 + a)/2 = a/2
M((a² + p²)/(4p),a/2)
M与y轴的距离为u = (a² + p²)/(4p)
M为圆心
圆的直径D,D² = [a²/(2p) - p/2]² + (a - 0)² = (a² - p²)²/(4p²) + a²
r² = D²/4 = (a² - p²)²/(16p²) + a²/4
u² = (a² + p²)²/(16p²)
现在只需证明:u² ≥ r²
即(a² + p²)²/(16p²) ≥ (a² - p²)²/(16p²) + a²/4
两边同乘以16p²:
(a² + p²)² ≥ (a² - p²)²/ + 4a²p² = (a² + p²)²
显然等号一直成立.
(2)
由(1):圆的半径r = u = (a² + p²)/(4p),即圆心到y轴的距离等于半径,二者的交点为切点B; 显然MB与y轴垂直,即与x轴平行.