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如图,已知⊙O1与⊙O2相离,OP和OQ是它们的两条外公切线,线段O1O2的垂直平分线交射线OP于A,过点A分别作⊙O1、⊙O2的切线,分别交射线OQ于B、C两点,求证:△ABC是等腰三角形.
题目详情
如图,已知⊙O1与⊙O2相离,OP和OQ是它们的两条外公切线,线段O1O2的垂直平分线交射线OP于A,过点A分别作⊙O1、⊙O2的切线,分别交射线OQ于B、C两点,求证:△ABC是等腰三角形.
▼优质解答
答案和解析
连结O1于A,O2A,延长AO2与OC交于D,
∵OA,OB,AB分别与⊙O1相切,
∴⊙O1为△AOB的内切圆,
∴∠ABC=∠AOB+∠OAB=2∠AOO1+2∠OAO1=2∠AO1O2,
∠ACB=∠CAD+∠ADC=∠PAO2+∠ADC=∠POD+2∠ADC=2∠O2OD+2∠ADC=2∠AO2O1,
又∵线段O1O2的垂直平分线交射线OP于A,
∴AO1=∠AO2,
∴∠AO1O2=∠AO2O1,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC.
∵OA,OB,AB分别与⊙O1相切,
∴⊙O1为△AOB的内切圆,
∴∠ABC=∠AOB+∠OAB=2∠AOO1+2∠OAO1=2∠AO1O2,
∠ACB=∠CAD+∠ADC=∠PAO2+∠ADC=∠POD+2∠ADC=2∠O2OD+2∠ADC=2∠AO2O1,
又∵线段O1O2的垂直平分线交射线OP于A,
∴AO1=∠AO2,
∴∠AO1O2=∠AO2O1,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC.
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