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设y=y(x)是区间(-π,π)内过(-π2,π2)的光滑曲线,当-π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0<x<π时,函数y(x)满足y″+y+x=0.求y(x)的表达式.
题目详情
设y=y(x)是区间(-π,π)内过(-
,
)的光滑曲线,当-π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0<x<π时,函数y(x)满足y″+y+x=0.求y(x)的表达式.
π | ||
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π | ||
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▼优质解答
答案和解析
由题意,当-π<x<0时,y(x)=−
.
分离变量可得,ydy=-xdx,
两边积分可得 y2=-x2+C.
由于y(x)过点(-
,
),代入 y2=-x2+C 可得,C=π2,
从而有 x2+y2=π2.
当0<x<π 时,y(x)满足y″+y+x=0.
其对应的齐次方程 y″+y=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx.
令其特解为 y*=Ax+b,代入微分方程,则有 0+Ax+b+x=0,解得 A=-1,b=0,
故y*=-x.
由线性微分方程解的结构可得,y″+y+x=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx-x.
由于 y=y(x) 是区间(-π,π)内的光滑曲线,故y(x)在 x=0 处满足
y(0-)=y(0+)=y(0),y′+(0)=y′-(0)=y′(0).
于是由 y(0-)=±π,y(0+)=C1,可得 C1=±π.
又当-π<x<0 时,有 y(x)=−
,可得 y′−(0)=−
|(0,y(0))=0,
当0<x<π 时,有 y′=-C1sinx+C2cosx-1,可得 y′+(0)=C2-1.
由 y′+(0)=y′-(0)得 C2-1=0,即 C2=1.
故 y=y(x)的表达式为
y=
,
或
y=
.
又因为y=y(x)过点(-
,
),
所以
y=
.
x |
y′ |
分离变量可得,ydy=-xdx,
两边积分可得 y2=-x2+C.
由于y(x)过点(-
π | ||
|
π | ||
|
从而有 x2+y2=π2.
当0<x<π 时,y(x)满足y″+y+x=0.
其对应的齐次方程 y″+y=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx.
令其特解为 y*=Ax+b,代入微分方程,则有 0+Ax+b+x=0,解得 A=-1,b=0,
故y*=-x.
由线性微分方程解的结构可得,y″+y+x=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx-x.
由于 y=y(x) 是区间(-π,π)内的光滑曲线,故y(x)在 x=0 处满足
y(0-)=y(0+)=y(0),y′+(0)=y′-(0)=y′(0).
于是由 y(0-)=±π,y(0+)=C1,可得 C1=±π.
又当-π<x<0 时,有 y(x)=−
x |
y′ |
x |
y |
当0<x<π 时,有 y′=-C1sinx+C2cosx-1,可得 y′+(0)=C2-1.
由 y′+(0)=y′-(0)得 C2-1=0,即 C2=1.
故 y=y(x)的表达式为
y=
|
或
y=
|
又因为y=y(x)过点(-
π | ||
|
π | ||
|
所以
y=
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