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在f（x）在[0，π]上连续，且满足∫π0min{x，y}f（y）dy=4f（x），求f（x）．
题目详情
在f（x）在[0，π]上连续，且满足
min{x，y}f（y）dy=4f（x），求f（x）．
| ∫ | π 0 |
▼优质解答
答案和解析
∵
min{x，y}f(y)dy＝
yf(y)dy+x
f(y)dy＝4f(x)，
由上式知，f（x）在[0，π]上可导，
∴上式两边对x求导得
xf(x)−xf(x)+
f(y)dy＝4f′(x)
即
f(y)dy＝4f′(x)
∴f（x）在[0，π]上二阶可导
∴再对上式求导，得
-f（x）=4f″（x）
即：4f″（x）+f（x）=0
这是二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为：4r2+1=0
解得特征根为：r1，2＝±
i
∴f(x)＝C1cos
+C2sin
…①
又在
min{x，y}f(y)dy＝
yf(y)dy+x
f(y)dy＝4f(x)中，令x=0，得f（0）=0
代入①得，C1=0
∴f(x)＝Csin
，其中C为任意常数．
| ∫ | π 0 |
| ∫ | x 0 |
| ∫ | π x |
由上式知，f（x）在[0，π]上可导，
∴上式两边对x求导得
xf(x)−xf(x)+
| ∫ | π x |
即
| ∫ | π x |
∴f（x）在[0，π]上二阶可导
∴再对上式求导，得
-f（x）=4f″（x）
即：4f″（x）+f（x）=0
这是二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为：4r2+1=0
解得特征根为：r1，2＝±
| 1 |
| 2 |
∴f(x)＝C1cos
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
又在
| ∫ | π 0 |
| ∫ | x 0 |
| ∫ | π x |
代入①得，C1=0
∴f(x)＝Csin
| x |
| 2 |
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