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在f(x)在[0,π]上连续,且满足∫π0min{x,y}f(y)dy=4f(x),求f(x).

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在f(x)在[0,π]上连续,且满足
π
0
min{x,y}f(y)dy=4f(x),求f(x).
▼优质解答
答案和解析
π
0
min{x,y}f(y)dy=
x
0
yf(y)dy+x
π
x
f(y)dy=4f(x),
由上式知,f(x)在[0,π]上可导,
∴上式两边对x求导得
xf(x)−xf(x)+
π
x
f(y)dy=4f′(x)
π
x
f(y)dy=4f′(x)
∴f(x)在[0,π]上二阶可导
∴再对上式求导,得
-f(x)=4f″(x)
即:4f″(x)+f(x)=0
这是二阶常系数齐次线性微分方程,其特征方程为:4r2+1=0
解得特征根为:r1,2=±
1
2
i
f(x)=C1cos
x
2
+C2sin
x
2
…①
又在
π
0
min{x,y}f(y)dy=
x
0
yf(y)dy+x
π
x
f(y)dy=4f(x)中,令x=0,得f(0)=0
代入①得,C1=0
f(x)=Csin
x
2
,其中C为任意常数.