设I1＝∫π40tanxxdx，I2＝∫π40xtanxdx，则（）A．I1＞I2＞1B．1＞I1＞I2C．I2＞I1＞1D．1＞I2＞I1

Question

设I1

＝∫

(π)/(4) 0

(tanx)/(x)dx，I2

＝∫

(π)/(4) 0

(x)/(tanx)dx，则（　　）

A．I₁＞I₂＞1
B．1＞I₁＞I₂
C．I₂＞I₁＞1
D．1＞I₂＞I₁

Answer 1

设：f(x)＝tanx−x，x∈(0，(π)/(4))，
∴f′（x）=sec²x-1=tan²x＞0，
∴f（x）在(0，(π)/(4))单调递增，
∴f（x）＞0，x∈(0，(π)/(4))
即：tanx＞x，x∈(0，(π)/(4))
即(tanx)/(x)＞1，(x)/(tanx)＜1，x∈(0，(π)/(4))
∴I1

＝∫

(π)/(4) 0

(tanx)/(x)dx＞(π)/(4)，I2

＝∫

(π)/(4) 0

(x)/(tanx)dx＜(π)/(4)
∴I₁＞I₂，且I2＜(π)/(4)＜1
∴可排除A、C、D，
故选：B．