（2014•湖北模拟）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，其中一条渐近线方程为y=b2x（b∈N*），P为双曲线上一点，且满足|OP|＜5（其中O为坐标原点），若|PF1|、|F1F2|、|PF2|成

Question

（2014•湖北模拟）已知双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，其中一条渐近线方程为y=(b)/(2)x（b∈N^*），P为双曲线上一点，且满足|OP|＜5（其中O为坐标原点），若|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比数列，则双曲线C的方程为（　　）

A．(x2)/(4)-y²=1
B．x²-y²=1
C．(x2)/(4)-(y2)/(9)=1
D．(x2)/(4)-(y2)/(16)=1

Answer 1

∵|F₁F₂|²=|PF₁|•|PF₂|，
∴4c²=|PF₁|•|PF₂|，
∵|PF₁|-|PF₂|=4，
∴|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|=16，
即：|PF₁|²+|PF₂|²-8c²=16，①
设：∠POF₁=θ，则：∠POF₂=π-θ，
由余弦定理得：|PF₂|²=c²+|OP|²-2|OF₂|•|OP|•cos（π-θ），
|PF₁|²=c²+|OP|²-2|OF₁||OP|•cosθ
整理得：|PF₂|²+|PF₁|²=2c²+2|OP|²②
由①②化简得：|OP|²=8+3c²=20+3b²
∵OP＜5，∴20+3b²＜25，∵b∈N，∴b²=1．
∵一条渐近线方程为y=(b)/(2)x（b∈N^*），
∴(b)/(a)=(1)/(2)，∴a=2，
∴(x2)/(4)−y2=1．
故选：A．