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已知数列{an}满足:a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式;(2)记数列{an}的前2n项和为S2n,当S2n取最大值时,求n的值.
题目详情
已知数列{an}满足:a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N*)
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列{an}的前2n项和为S2n,当S2n取最大值时,求n的值.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列{an}的前2n项和为S2n,当S2n取最大值时,求n的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N*),
∴数列{an}的奇数项、偶数项均是以-2为公差的等差数列,
当n为奇数时,an=a1+(
−1)×(−2)=11−n,
当n为偶数时,an=a2+(
−1)×(−2)=7−n,
∴an=
.
(2)S2n=a1+a2+…+a2n
=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
=na1+
×(−2)+na2 +
×(−2)
=-2n2+17n,
结合二次函数的性质知,当n=4时,S2n取最大值.
∴数列{an}的奇数项、偶数项均是以-2为公差的等差数列,
当n为奇数时,an=a1+(
n+1 |
2 |
当n为偶数时,an=a2+(
n |
2 |
∴an=
|
(2)S2n=a1+a2+…+a2n
=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
=na1+
n(n−1) |
2 |
n(n−1) |
2 |
=-2n2+17n,
结合二次函数的性质知,当n=4时,S2n取最大值.
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