若不等式2xlnx≥-x2+ax-3对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）A.（-∞，0）B.（0，+∞）C.（-∞，4]D.[4，+∞）

Question

若不等式2xlnx≥-x²+ax-3对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A. （-∞，0）
B. （0，+∞）
C. （-∞，4]
D. [4，+∞）

Answer 1

∵2xlnx≥-x²+ax-3对x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≤x+2lnx+(3)/(x)，x＞0，
令y=x+2lnx+(3)/(x)，
则y′＝1+(2)/(x)−(3)/(x2)=(x2+2x−3)/(x2)，
由y′=0，得x₁=-3，x₂=1，
x∈（0，1）时，y′＜0；
x∈（1，+∞）时，y′＞0．
∴x=1时，y_min=1+0+3=4．
∴a≤4．
∴实数a的取值范围是（-∞，4]．
故选：C．