已知g（x）=x2-2ax+1在区间[1，3]上的值域[0，4]．（1）求a的值；（2）若不等式g（2x）-k•4x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若函数y=g(|2x-1|)|2x-1|+k•2|2x-1|-3k有三个零点，

Question

已知g（x）=x²-2ax+1在区间[1，3]上的值域[0，4]．
（1）求a的值；
（2）若不等式g（2^x）-k•4^x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若函数y=(g(|2x-1|))/(|2x-1|)+k•(2)/(|2x-1|)-3k有三个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）g（x）=x²-2ax+1=（x-a）²+1-a²在区间[1，3]上的值域[0，4]．
若1≤a≤3时，g（x）的最小值为g（a）=1-a²，
由1-a²=0，可得a=1（-1舍去），g（x）=（x-1）²满足在区间[1，3]上的值域[0，4]；
若a>3时，g（x）在[1，3]递减，g（x）的最小值为g（3），
由g（3）=10-6a=0，解得a=(5)/(3)（舍去）；
若a<1，则g（x）在[1，3]递增，g（x）的最小值为g（1），
由g（1）=2-2a=0，解得a=1．
综上可得，a=1；
（2）由g（2^x）-k•4^x≥0即（2^x）²-2•2^x+1-k•4^x≥0，
化为k≤（2^-x）²-2•2^-x+1，令t=2^-x，由x≥1可得0<t≤(1)/(2)，
则k≤t²-2t+1，0<t≤(1)/(2)，
记h（t）=t²-2t+1，0<t≤(1)/(2)，由单调递减，可得h（t）的最小值为（(1)/(2)-1）²=(1)/(4)，
则k的取值范围是k≤(1)/(4)；
（3）令y=0，可化为|2^x-1|²-2•|2^x-1|+1+2k-3k•|2^x-1|=0（|2^x-1|≠0）有3个不同的实根．
令t=|2^x-1|，则t>0，由2^x-1>-1，当x<0时，t=|2^x-1|=1-2^x，t∈（0，1]且递减，
当0<x<1时，t=|2^x-1|=2^x-1，t∈（0，1）且递增，
当x=1时，t=1．当x>1时，t=|2^x-1|=2^x-1，t∈（1，+∞）且递增，
t²-（3k+2）t+1+2k=0有两个不同的实数解t₁，t₂，
已知函数有3个零点等价为0<t₁<1，t₂>1或0<t₁<1，t₂=1，
记m（t）=t²-（3k+2）t+1+2k，则

2k+1>0

m(1)=-k<0

或

h(0)=2k+1>0

h(1)=-k=0

0<(3k+2)/(2)<1

，
解得k>0或k无实数解，
综上可得，k的取值范围是（0，+∞）．