设n∈N*，xn是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）记Tn=x12x32…x2n-12，证明：Tn≥14n．

Question

设n∈N^*，x_n是曲线y=x²ⁿ⁺²+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标
（Ⅰ）求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n=x₁²x₃²…x_2n-1²，证明：T_n≥(1)/(4n)．

Answer 1

（1）y'=（x²ⁿ⁺²+1）'=（2n+2）x²ⁿ⁺¹，曲线y=x²ⁿ⁺²+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2，
从而切线方程为y-2=（2n+2）（x-1）
令y=0，解得切线与x轴的交点的横坐标为xn=1-(1)/(n+1)=(n)/(n+1)，
（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：
T_n=x₁²x₃²…x_2n-1²=((1)/(2))2((3)/(4))2•…•((2n-1)/(2n))2，
当n=1时，T1=(1)/(4)，
当n≥2时，因为x_2n-1²=((2n-1)/(2n))2=((2n-1)2)/((2n)2)>((2n-1)2-1)/((2n)2)=(2n-2)/(2n)=(n-1)/(n)，
所以T_n>((1)/(2))2×(1)/(2)×(2)/(3)×…×(n-1)/(n)=(1)/(4n)
综上所述，可得对任意的n∈N₊，均有Tn≥(1)/(4n)