已知数列{an}满足a1=10，an-10≤an+1≤an+10（n∈N*）．（1）若{an}是等差数列，Sn=a1+a2+…+an，且Sn-10≤Sn+1≤Sn+10（n∈N*），求公差d的取值集合；（2）若a1，a2，…，ak成的比数列，公比q是大于1的整

Question

已知数列{a_n}满足a1=10，a_n-10≤a_n+1≤a_n+10（n∈N^*）．
（1）若{a_n}是等差数列，S_n=a₁+a₂+…+a_n，且S_n-10≤S_n+1≤S_n+10（n∈N^*），求公差d的取值集合；
（2）若a₁，a₂，…，a_k成的比数列，公比q是大于1的整数，且a₁+a₂+…+a_k>2017，求正整数k的最小值；
（3）若a₁，a₂，…，a_k成等差数列，且a₁，a₂，…，a_k=100，求正整数k的最小值及k取最小值时公差d的值．

Answer 1

（1）由S_n-10≤S_n+1≤S_n+10得，-10≤a_n+1≤10，
又a₁=10，∴-10≤10+nd≤10，
即-(20)/(n)≤d≤0对任意的n∈N^*恒成立，
∴d=0，即公差d的取值集合是{0}；
（2）∵a_n+1≤a_n+10，且a₁=10，∴a₂=10q≤20，则q≤2，
∵公比q是大于1的整数，∴q=2，
∴a₁+a₂+…+a_k=(10(1-2k))/(1-2)=10（2^k-1）≥2017，
化简得，2^k≥202.7，解得k≥8，
即正整数k的最小值是8；
（3）由条件得，a₁+a₂+…+a_k=10k+(k(k-1))/(2)d=100，
解得d=(200-20k)/(k(k-1))，
∵a_n-10≤a_n+1≤a_n+10，∴-10≤a_n+1-a_n≤10，
∴-10≤(200-20k)/(k(k-1))≤10，
化简得，-k²+k≤20-2k≤k²-k，
解得k≥4，
即k的最小值是4，此时d=10．