已知函数f（x）=lnx-mx+n，m，n∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=2x-1，求m，n的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若n=0，不等式f（x）+m<0在x∈（1，+∞）恒成

Question

已知函数f（x）=lnx-mx+n，m，n∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=2x-1，求m，n的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若n=0，不等式f（x）+m<0在x∈（1，+∞）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

函数f（x）的定义域为：（0，+∞），
（Ⅰ）∵f′(x)=(1)/(x)-m，
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f'（1）=1-m=2，
∴m=-1，
又∵f（1）=1，∴-m+n=1，
∴n=0；
（Ⅱ）∵f′(x)=(1)/(x)-m，
当m≤0时，f'（x）>0恒成立，则单调递增区间为（0，+∞），无单调减区间；
当m>0时，由f'（x）>0得 0<x<(1)/(m)，由f'（x）<0，得x>(1)/(m)，
综上所述：当m≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调减区间；
当m>0时，f（x）的单调递增区间是(0，(1)/(m))，单调递减区间是((1)/(m)，+∞)．
（Ⅲ）由f（x）+m<0，可得lnx-mx+m<0在x>1恒成立．
设g（x）=lnx-mx+m，即有g（x）_max<0在x>1恒成立．
由于g′（x）=(1)/(x)-m，
由（Ⅱ）知当m≤0时，g（x）在x>0上递增，
∀x>1，g（x）>g（1）=0，不合题意舍去；
当m>0时，g（x）在（0，(1)/(m)）递增，在（(1)/(m)，+∞）递减，
①当(1)/(m)≤1即m≥1时，g（x）在（1，+∞）递减，
∀x>1，g（x）_max<g（1）=0，即f（x）+m<0符合题意；
②当(1)/(m)>1即0<m<1时，g（x）在（1，(1)/(m)）递增，在（(1)/(m)，+∞）递减，
∀x>1，g（x）_max=g（(1)/(m)）>g（1）=0，不符合题意．
综上可得，m的取值范围是[1，+∞）．