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已知函数f(x)=2aex-lnx(a∈R,e为自然对数的底数).(Ⅰ)讨论函数f(x)的极值点;(Ⅱ)当a=1时,求证:f(x)-x2ex>0.
题目详情
已知函数f(x)=
x-lnx(a∈R,e为自然对数的底数).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的极值点;
(Ⅱ)当a=1时,求证:f(x)-
>0.
2a |
e |
(Ⅰ)讨论函数f(x)的极值点;
(Ⅱ)当a=1时,求证:f(x)-
x2 |
ex |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)f(x)的定义域是(0,+∞),
f′(x)=
-
,
a≤0时,f′(x)<0,f(x)递减,无极值;
a>0时,令f′(x)>0,解得:x>
,
令f′(x)<0,解得:x<
,
∴f(x)在(0,
)递减,在(
,+∞)递增,
∴x=
是函数的极小值点;
(Ⅱ)证明:a=1时,f(x)=
x-lnx,
由(Ⅰ)f(x)的最小值是f(
)=ln2≈0.693,
令g(x)=
,(x>0),g′(x)=
,
令g′(x)>0,解得:0<x<2,令g′(x)<0,解得:x>2,
∴g(x)在(0,2)递增,在(2,+∞)递减,
∴g(x)max=g(2)=
≈0.545,
故f(x)min>g(x)max,
故当a=1时,f(x)-
>0.
f′(x)=
2a |
e |
1 |
x |
a≤0时,f′(x)<0,f(x)递减,无极值;
a>0时,令f′(x)>0,解得:x>
e |
2a |
令f′(x)<0,解得:x<
e |
2a |
∴f(x)在(0,
e |
2a |
e |
2a |
∴x=
e |
2a |
(Ⅱ)证明:a=1时,f(x)=
2 |
e |
由(Ⅰ)f(x)的最小值是f(
e |
2 |
令g(x)=
x2 |
ex |
x(2-x) |
ex |
令g′(x)>0,解得:0<x<2,令g′(x)<0,解得:x>2,
∴g(x)在(0,2)递增,在(2,+∞)递减,
∴g(x)max=g(2)=
4 |
e2 |
故f(x)min>g(x)max,
故当a=1时,f(x)-
x2 |
ex |
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