已知函数f（x）=2aex-lnx（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的极值点；（Ⅱ）当a=1时，求证：f（x）-x2ex>0．

Question

已知函数f（x）=(2a)/(e)x-lnx（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）当a=1时，求证：f（x）-(x2)/(ex)>0．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=(2a)/(e)-(1)/(x)，
a≤0时，f′（x）<0，f（x）递减，无极值；
a>0时，令f′（x）>0，解得：x>(e)/(2a)，
令f′（x）<0，解得：x<(e)/(2a)，
∴f（x）在（0，(e)/(2a)）递减，在（(e)/(2a)，+∞）递增，
∴x=(e)/(2a)是函数的极小值点；
（Ⅱ）证明：a=1时，f（x）=(2)/(e)x-lnx，
由（Ⅰ）f（x）的最小值是f（(e)/(2)）=ln2≈0.693，
令g（x）=(x2)/(ex)，（x>0），g′（x）=(x(2-x))/(ex)，
令g′（x）>0，解得：0<x<2，令g′（x）<0，解得：x>2，
∴g（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
∴g（x）_max=g（2）=(4)/(e2)≈0.545，
故f（x）_min>g（x）_max，
故当a=1时，f（x）-(x2)/(ex)>0．