已知e是自然对数的底数，F（x）=2ex-1+x+lnx，f（x）=a（x-1）+3．（1）求曲线y=F（x）在点（1，F（1））处的切线方程；（2）当a≤4，x≥1时，求证：F（x）≥f（x）．

Question

已知e是自然对数的底数，F（x）=2e^x-1+x+lnx，f（x）=a（x-1）+3．
（1）求曲线y=F（x）在点（1，F（1））处的切线方程；
（2）当a≤4，x≥1时，求证：F（x）≥f（x）．

Answer 1

（1）∵F（x）=2e^x-1+x+lnx=2e^-1e^x+x+lnx，
∴F′（x）=2e^-1e^x+1+(1)/(x)，F（1）=3，F′（1）=4，
∴y=F（x）在点（1，F（1））处的切线方程为y-3=4（x-1），
即4x-y-1=0．
（2）证明：设H（x）=F（x）-f（x），
则H′(x)=2ex-1+1+(1)/(x)-a，
设h(x)=2ex-1+1+(1)/(x)-a，
则h′(x)=2ex-1-(1)/(x2)．
∵x≥1，∴2ex-1≥2，-(1)/(x2)≥-1，h′(x)≥1，
∴h（x）在[1，+∞）内单调递增，
∴当x≥1时，h（x）≥h（1），
即H'（x）≥4-a，
∵a≤4时，∴H'（x）≥4-a≥0，
∴当a≤4时，H（x）在[1，+∞）内单调递增，
∴当a≤4，x≥1时，H（x）≥H（1），
即F（x）≥f（x）．